Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist ${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{{(x + h)}^{\frac{3}{2}} - (x^{\frac{3}{2}})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$ als ${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ um.

$\frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - x^{\frac{3}{2}}}{h}$

Schritt 4.2

Schreibe $x^{\frac{3}{2}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ um.

$\frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}{h}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ und $b = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Schritt 4.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Schritt 4.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{1} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Schritt 4.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{h}$

Schritt 4.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{h}$

Schritt 4.4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{1})}{h}$

Schritt 4.4.4

Vereinfache.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x)}{h}$

Schritt 4.4.5

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (2 x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Schritt 5