Elementarmathematik Beispiele

Given the function $f (x) = - x^{2} - 6 x + 17$ , determine the average rate of change of the function over the interval $- 5 \leq x \leq 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - x^{2} - 6 x + 17$ als Gleichung.

$y = - x^{2} - 6 x + 17$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (1) - f (- 5)}{(1) - (- 5)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = - x^{2} - 6 x + 17$ für $f (1)$ und $f (- 5)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(- {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 17) - (- {(- 5)}^{2} - 6 \cdot - 5 + 17)}{(1) - (- 5)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 1 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 17 - (- {(- 5)}^{2} - 6 \cdot - 5 + 17)}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 6 \cdot 1 + 17 - (- {(- 5)}^{2} - 6 \cdot - 5 + 17)}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 6 + 17 - (- {(- 5)}^{2} - 6 \cdot - 5 + 17)}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{- 1 - 6 + 17 - (- 1 \cdot 25 - 6 \cdot - 5 + 17)}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{- 1 - 6 + 17 - (- 25 - 6 \cdot - 5 + 17)}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 5$ .

$\frac{- 1 - 6 + 17 - (- 25 + 30 + 17)}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.5

Addiere $- 25$ und $30$ .

$\frac{- 1 - 6 + 17 - (5 + 17)}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.6

Addiere $5$ und $17$ .

$\frac{- 1 - 6 + 17 - 1 \cdot 22}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $22$ .

$\frac{- 1 - 6 + 17 - 22}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.8

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$\frac{- 7 + 17 - 22}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.9

Addiere $- 7$ und $17$ .

$\frac{10 - 22}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.1.10

Subtrahiere $22$ von $10$ .

$\frac{- 12}{1 - (- 5)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{- 12}{1 + 5}$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{- 12}{6}$

Schritt 3.3

Dividiere $- 12$ durch $6$ .

$- 2$