Elementarmathematik Beispiele

$y + \frac{2}{3} x = 1$

Schritt 1

Schreibe $y = 1 - \frac{2 x}{3}$ als Funktion.

$f (x) = 1 - \frac{2 x}{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y + \frac{2 x}{3} = 1$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{2 x}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1 - \frac{2 x}{3}$

Schritt 3

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 4

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 4.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 1 - \frac{2 (x + h)}{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (x + h) = \frac{3}{3} - \frac{2 (x + h)}{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 (x + h)}{3}$

Schritt 4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{3}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{3 - 2 x - 2 h}{3}$ .

$\frac{3 - 2 x - 2 h}{3}$

Schritt 4.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{3}$

$f (x) = 1 - \frac{2 x}{3}$

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{3}$

$f (x) = 1 - \frac{2 x}{3}$

Schritt 5

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{3} - (1 - \frac{2 x}{3})}{h}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{3} - 1 \cdot 1 - - \frac{2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{3} - 1 - - \frac{2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere $- - \frac{2 x}{3}$ .

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{3} - 1 + 1 \frac{2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{3} - 1 + \frac{2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h - 1 \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h - 1 \cdot 3 + 2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.8

Schreibe $\frac{3 - 2 x - 2 h - 1 \cdot 3 + 2 x}{3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h - 3 + 2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.8.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 2 h + 0 + 2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.8.3

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 2 h + 2 x}{3}}{h}$

Schritt 6.1.8.4

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{\frac{- 2 h + 0}{3}}{h}$

Schritt 6.1.8.5

Addiere $- 2 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{3}}{h}$

Schritt 6.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{2 h}{3}}{h}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{2 h}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 6.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 h}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 2 h}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 2}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 2}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{3}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3}$

Schritt 7