Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}$ ; $[- 1, 10]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{2}}{x + 2}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (10) - f (- 1)}{(10) - (- 1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{x^{2}}{x + 2}$ für $f (10)$ und $f (- 1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{{(10)}^{2}}{(10) + 2}) - (\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 2})}{(10) - (- 1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(10 + 2) (- 1 + 2)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{10^{2}}{10 + 2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{10 - (- 1)}$ mit $\frac{(10 + 2) (- 1 + 2)}{(10 + 2) (- 1 + 2)}$ .

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2)}{(10 + 2) (- 1 + 2)} \cdot \frac{\frac{10^{2}}{10 + 2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{10 - (- 1)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2) (\frac{10^{2}}{10 + 2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) (10 - (- 1))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2) \frac{10^{2}}{10 + 2} + (10 + 2) (- 1 + 2) (- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 + 2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2) \frac{10^{2}}{10 + 2} + (10 + 2) (- 1 + 2) (- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) (- 1 + 2) (- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 + 2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}$ in den Zähler.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) (- 1 + 2) \frac{- {(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $- 1 + 2$ aus $(10 + 2) (- 1 + 2)$ heraus.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (- 1 + 2) (10 + 2) \frac{- {(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (- 1 + 2) (10 + 2) \frac{- {(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) (- {(- 1)}^{2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1 \cdot 10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $10^{2}$ mit $1$ .

$\frac{10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\frac{100 + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.4

Addiere $10$ und $2$ .

$\frac{100 + 12 {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{100 + 12 \cdot - 1}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{100 - 12}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.7

Subtrahiere $12$ von $100$ .

$\frac{88}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Addiere $10$ und $2$ .

$\frac{88}{12 (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{88}{12 \cdot 1 \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.3

Multipliziere $12 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{88}{12 \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.3.2

Mutltipliziere $12$ mit $10$ .

$\frac{88}{120 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.4

Addiere $10$ und $2$ .

$\frac{88}{120 + 12 (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{88}{120 + 12 \cdot 1 (- (- 1))}$

Schritt 3.5.6

Multipliziere $12 \cdot 1 (- (- 1))$ .

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Schritt 3.5.6.1

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{88}{120 + 12 (- (- 1))}$

Schritt 3.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{88}{120 + 12 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{88}{120 + 12}$

Schritt 3.5.7

Addiere $120$ und $12$ .

$\frac{88}{132}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $88$ und $132$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $44$ aus $88$ heraus.

$\frac{44 (2)}{132}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $44$ aus $132$ heraus.

$\frac{44 \cdot 2}{44 \cdot 3}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{44 \cdot 2}{44 \cdot 3}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3}$