Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ ; $[- 2, 2]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ für $f (2)$ und $f (- 2)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{1}{4} \cdot {(2)}^{4} - {(2)}^{3}) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{(2) - (- 2)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 16 - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 8 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.5.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot 16 - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 - 8 - (4 - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.5.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{4 - 8 - (4 - - 8)}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{4 - 8 - (4 + 8)}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.6

Addiere $4$ und $8$ .

$\frac{4 - 8 - 1 \cdot 12}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{4 - 8 - 12}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.8

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{- 4 - 12}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.9

Subtrahiere $12$ von $- 4$ .

$\frac{- 16}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- 16}{2 + 2}$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{- 16}{4}$

Schritt 3.3

Dividiere $- 16$ durch $4$ .

$- 4$