Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 20}{x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + x - 20}{x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 4 x^{2}) - 9 x + 36 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x - 4) (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x - 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 3, 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 3, - 3, 4}$

Schritt 4