Elementarmathematik Beispiele

$y + 6 = {(2 x - 5)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = {(2 x - 5)}^{2} - 6$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf ${(2 x - 5)}^{2} - 6$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(2 x - 5)}^{2}$ als $(2 x - 5) (2 x - 5)$ um.

$(2 x - 5) (2 x - 5) - 6$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(2 x - 5) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) - 6$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5) - 6$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25 - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - 6$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $6$ von $25$ .

$4 x^{2} - 20 x + 19$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 20$

$c = 19$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 20}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (4)}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 10}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$d = \frac{2 (- 5)}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 19 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$e = 19 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 19 - \frac{400}{16}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Dividiere $400$ durch $16$ .

$e = 19 - 1 \cdot 25$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$e = 19 - 25$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $25$ von $19$ .

$e = - 6$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - \frac{5}{2})}^{2} - 6$ ein.

$4 {(x - \frac{5}{2})}^{2} - 6$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 4 {(x - \frac{5}{2})}^{2} - 6$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 4$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - 6$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, - 6)$

Schritt 4