Elementarmathematik Beispiele

$r (t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$t^{3} + 6 t^{2} + t = 0$

Schritt 2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3} + 6 t^{2} + t$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3}$ heraus.

$t \cdot t^{2} + 6 t^{2} + t = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $t$ aus $6 t^{2}$ heraus.

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Schritt 2.1.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t^{2} + t (6 t)$ heraus.

$t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $t$ aus $t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1$ heraus.

$t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 2.4

Setze $t^{2} + 6 t + 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $t^{2} + 6 t + 1$ gleich $0$ .

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $t^{2} + 6 t + 1 = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.4.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.4.2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.4.2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$t = - 3 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$ wahr machen.

$t = 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $t$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3 - 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 - 2 \sqrt{2}, - 3 + 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 + 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${t | t \neq 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 4