Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Ermittle $f^{- 1} (x)$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ als Gleichung.

$y = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$

Schritt 1.2

Vertausche die Variablen.

$x = 10 y^{\frac{1}{3}} - 6$

Schritt 1.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $10 y^{\frac{1}{3}} - 6 = x$ um.

$10 y^{\frac{1}{3}} - 6 = x$

Schritt 1.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10 y^{\frac{1}{3}} - x = 6$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10 y^{\frac{1}{3}} = 6 + x$

Schritt 1.3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.4.1.1

Vereinfache ${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $10 y^{\frac{1}{3}}$ an.

$10^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$1000 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.4.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.4.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1000 y^{1} = {(6 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.4

Vereinfache.

$1000 y = {(6 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache ${(6 + x)}^{3}$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1000 y = 6^{3} + 3 \cdot 6^{2} x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1.2.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$1000 y = 216 + 3 \cdot 6^{2} x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.4.2.1.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$1000 y = 216 + 3 \cdot 36 x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.4.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$1000 y = 216 + 108 x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.4.2.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.5

Teile jeden Ausdruck in $1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$ durch $1000$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$ durch $1000$ .

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1000$ .

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Schritt 1.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $1000$ .

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Schritt 1.3.5.3.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $216$ heraus.

$y = \frac{8 (27)}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $1000$ heraus.

$y = \frac{8 \cdot 27}{8 \cdot 125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{8 \cdot 27}{8 \cdot 125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{27}{125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $108$ und $1000$ .

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Schritt 1.3.5.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $108 x$ heraus.

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $1000$ heraus.

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{4 (250)} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{4 \cdot 250} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $1000$ .

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Schritt 1.3.5.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $1000$ heraus.

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{2 (500)} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 500} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.3.5.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 1.5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ ist.

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Schritt 1.5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 1.5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 1.5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 1.5.2.2

Berechne $f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}{250} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $27 (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{250} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $250$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{2 (125)} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{2 \cdot 125} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ heraus.

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Schritt 1.5.2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3))}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3)$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.3.2

Wende die Produktregel auf $2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 \cdot (2^{2} {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 \cdot (4 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.3.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{36 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.4

Faktorisiere $4$ aus $36 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $500$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{4 (125)} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{4 \cdot 125} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ heraus.

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Schritt 1.5.2.3.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 6)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3))}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3)$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.6.2

Wende die Produktregel auf $2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{2^{3} {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.6.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.7

Faktorisiere $8$ aus $8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 ({(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3})}{1000}$

Schritt 1.5.2.3.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.8.1

Faktorisiere $8$ aus $1000$ heraus.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{8 \cdot 125}$

Schritt 1.5.2.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{8 \cdot 125}$

Schritt 1.5.2.3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3) + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 27 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot - 3 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $27$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot - 3 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.3

Mutltipliziere $27$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.4

Schreibe ${(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ als $(5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ um.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 ((5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.5

Multipliziere $(5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}} - 3) - 3 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.5.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.5.6.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{2}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 9) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.6.2

Subtrahiere $15 x^{\frac{1}{3}}$ von $- 15 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 30 x^{\frac{1}{3}} + 9) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}}) + 9 (- 30 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.8

Vereinfache.

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Schritt 1.5.2.5.8.1

Mutltipliziere $25$ mit $9$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} + 9 (- 30 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.8.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $9$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.8.3

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.9

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.5.10.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.5.2.5.10.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.5.10.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.2.5.10.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.4

Vereinfache.

Schritt 1.5.2.5.10.5

Wende die Produktregel auf $5 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (5^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.5.10.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 x^{\frac{1}{3} \cdot 2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 x^{\frac{2}{3}}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.8

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 75 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $75$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.10

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.11

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.12

Mutltipliziere $9$ mit $15$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Schritt 1.5.2.5.10.13

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Schritt 1.5.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.2.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27$ .

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Schritt 1.5.2.6.1.1

Addiere $- 81$ und $81$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Schritt 1.5.2.6.1.2

Addiere $27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Schritt 1.5.2.6.1.3

Subtrahiere $225 x^{\frac{2}{3}}$ von $225 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 0 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Schritt 1.5.2.6.1.4

Addiere $27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Schritt 1.5.2.6.1.5

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}} + 0}{125}$

Schritt 1.5.2.6.1.6

Addiere $135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}}{125}$

Schritt 1.5.2.6.2

Subtrahiere $270 x^{\frac{1}{3}}$ von $135 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{- 135 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}}{125}$

Schritt 1.5.2.6.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 135 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.5.2.6.3.1

Addiere $- 135 x^{\frac{1}{3}}$ und $135 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x + 0}{125}$

Schritt 1.5.2.6.3.2

Addiere $125 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x}{125}$

Schritt 1.5.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 1.5.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x}{125}$

Schritt 1.5.2.6.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = x$

Schritt 1.5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 1.5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 1.5.3.2

Berechne $f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000})}^{\frac{1}{3}} - 6$

Schritt 1.5.3.3

Bewege $\frac{27}{125}$ .

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

Schritt 1.5.3.4

Bewege $\frac{27 x}{250}$ .

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

Schritt 1.5.3.5

Stelle $\frac{9 x^{2}}{500}$ und $\frac{x^{3}}{1000}$ um.

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{x^{3}}{1000} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

Schritt 1.5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 2

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Schritt 2.1

Bewege $\frac{27}{125}$ .

$\frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27}{125}$

Schritt 2.2

Bewege $\frac{27 x}{250}$ .

$\frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125}$

Schritt 2.3

Stelle $\frac{9 x^{2}}{500}$ und $\frac{x^{3}}{1000}$ um.

$\frac{x^{3}}{1000} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125}$