Elementarmathematik Beispiele

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{1}{3}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{1}{3}$

Schritt 2

Verwende die Formel für eine geometrische Folge $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ , um die Anzahl der Terme zu finden, $n$ .

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Schritt 2.1

Ersetze die Werte des ersten Terms, des letzten Terms und des Verhältnisses zwischen den Termen in der Formel.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 2.2

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ um.

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ durch $12$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ durch $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Schritt 2.2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Schritt 2.2.2.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

Schritt 2.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

Schritt 2.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{243}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

Schritt 2.2.2.3.4

Mutltipliziere $243$ mit $3$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere beide Seiten mit $3^{n - 1}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Schritt 2.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{729}$ und $3^{n - 1}$ .

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

Schritt 2.2.5

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ um.

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

Schritt 2.2.5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $729$ .

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $729$ .

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Schritt 2.2.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Schritt 2.2.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

Schritt 2.2.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.5.3.2.1

Mutltipliziere $729$ mit $1$ .

$3^{n - 1} = 729$

Schritt 2.2.5.4

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

Schritt 2.2.5.5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$n - 1 = 6$

Schritt 2.2.5.6

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.5.6.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n = 6 + 1$

Schritt 2.2.5.6.2

Addiere $6$ und $1$ .

$n = 7$

Schritt 3

Verwende die Formel für die Summe einer geometrischen Folge $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ , um die Summe zu finden.

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Schritt 3.1

Ersetze die Werte des ersten Terms, des Verhältnisses und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $3$ mit $7$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2187$ .

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.7.2

Subtrahiere $2187$ von $1$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.9

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.2.1.9.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.9.2

Kombiniere $- 12$ und $\frac{2186}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.9.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $2186$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 26232$ und $2187$ .

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Schritt 3.2.1.10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 26232$ heraus.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2187$ heraus.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.2.1.12.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.12.3

Mutltipliziere $\frac{8744}{729}$ mit $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Schritt 3.2.2.4.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 3.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $8744$ heraus.

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

Schritt 3.2.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 3.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 3.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $\frac{4372}{243}$ und $- 1$ .

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $4372$ mit $- 1$ .

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

Schritt 3.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$