Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ als Gleichung.

$y = 5 {(x - 5)}^{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 {(y - 5)}^{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 {(y - 5)}^{7} = x$ um.

$5 {(y - 5)}^{7} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 {(y - 5)}^{7} = x$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 {(y - 5)}^{7} = x$ durch $5$ .

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere ${(y - 5)}^{7}$ durch $1$ .

${(y - 5)}^{7} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 5 = \sqrt[7]{\frac{x}{5}}$

Schritt 3.4

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{x}{5}}$ als $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ um.

$y - 5 = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$

Schritt 3.5

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinige $\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}$ und $\sqrt[7]{5}$ zu einer einzigen Wurzel.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{{(x - 5)}^{7}}{1}} + 5$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere ${(x - 5)}^{7}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 5)}^{7}} + 5$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x - 5 + 5$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {((\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5)}^{7}$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 0)}^{7}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}})}^{7}$

Schritt 5.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ an.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Schritt 5.3.5

Schreibe ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x}$ als $x^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Schritt 5.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Schritt 5.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Schritt 5.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Schritt 5.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Schritt 5.3.5.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Schritt 5.3.6

Schreibe ${\sqrt[7]{5}}^{7}$ als $5$ um.

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Schritt 5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{5}$ als $5^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{(5^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Schritt 5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Schritt 5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Schritt 5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Schritt 5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$