Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (5^{x + 1} - 20) = x$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{5} (5^{x + 1} - 20)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$5^{x + 1} - 20 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $20$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$5^{x + 1} > 20$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x + 1}) > \ln (20)$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (5^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (5) > \ln (20)$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $(x + 1) \ln (5)$ .

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Schritt 2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) + 1 \ln (5) > \ln (20)$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$x \ln (5) + \ln (5) > \ln (20)$

Schritt 2.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (5) + \ln (5) - \ln (20) = 0$

Schritt 2.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5}{20}) = 0$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $20$ .

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 (1)}{20}) = 0$

Schritt 2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Schritt 2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Schritt 2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (5) + \ln (\frac{1}{4}) = 0$

Schritt 2.8

Subtrahiere $\ln (\frac{1}{4})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$

Schritt 2.9

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 2.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Schritt 2.9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Schritt 2.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}}$

Schritt 4