Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$ nicht definiert ist.

$x = 2$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1.1

Schreibe $- x^{3}$ als ${(- x)}^{3}$ um.

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 8}$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 2^{3}}$

Schritt 5.1.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = - x$ und $b = 2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1.4.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 5.1.1.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (1 x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 5.1.1.4.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 5.1.1.4.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.1.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 1 x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 5.1.1.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 5.1.1.4.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Schritt 5.1.1.4.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.1.2.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) - 1 (- 2)) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.1.2.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.1.2.4.1

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- 1 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.1.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.2

Multipliziere $- (3 x^{4} - 2 x + 1)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Kehre das Vorzeichen von $3 x^{4} - 2 x + 1$ um.

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x + 1)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.2.4

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.2.5

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.3

Multipliziere $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ aus.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x + 4) - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.6

Entferne die Klammern.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.7

Stelle $x$ und $2$ um.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.8

Stelle $x$ und $4$ um.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.9

Entferne die Klammern.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.13

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.17

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.18

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.19

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Schritt 5.3.20

Bewege $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 8}$

Schritt 5.3.21

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 + 4 x - 4 x - 8}$

Schritt 5.3.22

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 4 x - 4 x - 8}$

Schritt 5.3.23

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 - 8}$

Schritt 5.3.24

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 5.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 5.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 5.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$3 x^{4}$

$0$

$24 x$

Schritt 5.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{4} + 0 + 0 + 24 x$

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$

Schritt 5.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$

Schritt 5.9

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$	-	$1$

Schritt 5.10

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- 3 x + \frac{- 22 x - 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 5.11

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$- 3 x + \frac{22 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Schritt 5.12

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - 3 x$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 2$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - 3 x$

Schritt 7