Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 = x$ um.

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 = x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} - x = - 8$

Schritt 3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = - 8 + x$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 (- 8 + x)$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 (- 8 + x)$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{3}} = 5 (- 8 + x)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $5 (- 8 + x)$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{\frac{1}{3}} = 5 \cdot - 8 + 5 x$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 8$ .

$y^{\frac{1}{3}} = - 40 + 5 x$

Schritt 3.5

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.6.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache ${(- 40 + 5 x)}^{3}$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = {(- 40)}^{3} + 3 {(- 40)}^{2} (5 x) + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.2.1.2.1

Potenziere $- 40$ mit $3$ .

$y = - 64000 + 3 {(- 40)}^{2} (5 x) + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2.2

Potenziere $- 40$ mit $2$ .

$y = - 64000 + 3 \cdot 1600 (5 x) + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1600$ .

$y = - 64000 + 4800 (5 x) + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $4800$ .

$y = - 64000 + 24000 x + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 40$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 120 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2.6

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$y = - 64000 + 24000 x - 120 (5^{2} x^{2}) + {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 120 (25 x^{2}) + {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2.8

Mutltipliziere $25$ mit $- 120$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 3000 x^{2} + {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2.9

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$y = - 64000 + 24000 x - 3000 x^{2} + 5^{3} x^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2.10

Potenziere $5$ mit $3$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 3000 x^{2} + 125 x^{3}$

Schritt 3.7

Vereinfache $- 64000 + 24000 x - 3000 x^{2} + 125 x^{3}$ .

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Schritt 3.7.1

Bewege $- 64000$ .

$y = 24000 x - 3000 x^{2} + 125 x^{3} - 64000$

Schritt 3.7.2

Bewege $24000 x$ .

$y = - 3000 x^{2} + 125 x^{3} + 24000 x - 64000$

Schritt 3.7.3

Stelle $- 3000 x^{2}$ und $125 x^{3}$ um.

$y = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{3} - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 ({(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Vereinfache.

Schritt 5.2.3.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{5^{2}}) \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}{5^{2}}) \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{5^{2}}) \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.7

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.8

Multipliziere $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25} \cdot 8$ .

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Schritt 5.2.3.2.8.1

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25}$ und $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{25} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.9

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.10

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 64 + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.11

Multipliziere $\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 64$ .

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Schritt 5.2.3.2.11.1

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ und $64$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 64}{5} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.11.2

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.2.12

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 512) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125}) + 125 (\frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 125 (\frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.2.3.4.2.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 25 (5) (\frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 25 \cdot (5 (\frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25})) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 5 (24 x^{\frac{2}{3}}) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4.3

Mutltipliziere $24$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 5 (25) (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 5 \cdot (25 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5})) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 25 (192 x^{\frac{1}{3}}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4.5

Mutltipliziere $192$ mit $25$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.4.6

Mutltipliziere $125$ mit $512$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe ${(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2}$ als $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)$ um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 ((\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.6

Multipliziere $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.7.1.1

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.7.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1 + 1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7.1.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7.1.4

Kombiniere $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ und $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 8}{5} + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7.1.5

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{8 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7.1.6

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7.1.7

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 64) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.7.2

Addiere $\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ und $\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + 2 (\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 64) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.8

Multipliziere $2 \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

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Schritt 5.2.3.8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{2 (8 x^{\frac{1}{3}})}{5} + 64) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 64) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} - 3000 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.10

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.2.3.10.1.1

Faktorisiere $25$ aus $- 3000$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 + 25 (- 120) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) - 3000 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.10.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 + 25 \cdot (- 120 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) - 3000 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.10.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 3000 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.10.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 3000$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} + 5 (- 600) (\frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5}) - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} + 5 \cdot (- 600 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5}) - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 600 (16 x^{\frac{1}{3}}) - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.10.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 600$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.10.4

Mutltipliziere $- 3000$ mit $64$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Schritt 5.2.3.11

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 5.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.12.1

Faktorisiere $5$ aus $24000$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 5 (4800) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 24000 \cdot 8 - 64000$

Schritt 5.2.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 5 \cdot (4800 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})) + 24000 \cdot 8 - 64000$

Schritt 5.2.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 24000 \cdot 8 - 64000$

Schritt 5.2.3.13

Mutltipliziere $24000$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 192000 - 64000$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 192000 - 64000$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $120 x^{\frac{2}{3}}$ von $120 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 + 0 - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 192000 - 64000$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 192000 - 64000$

Schritt 5.2.4.1.3

Addiere $- 192000$ und $192000$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 64000$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} - 64000$

Schritt 5.2.4.1.5

Subtrahiere $64000$ von $64000$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x + 4800 x^{\frac{1}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $9600 x^{\frac{1}{3}}$ von $4800 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x - 4800 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 4800 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 4800 x^{\frac{1}{3}}$ und $4800 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$

Schritt 5.3.3

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $8$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5}$

Schritt 5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}} + 8 \cdot 5}{5}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}} + 40}{5}$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$ .

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$