Elementarmathematik Beispiele

vertices at $(6, 0)$ , $(- 6, 0)$ ; foci at $(8, 0)$ , $(- 8, 0)$

Schritt 1

Ermittle den Mittelpunkt $(h, k)$ indem du den Mittelpunkt der Scheitelpunkte ermittelst.

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Schritt 1.1

Wende die Mittelpunktsformel an, um den Mittelpunkt des Liniensegments zu bestimmen.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Schritt 1.2

Setze die Werte für $(x_{1}, y_{1})$ und $(x_{2}, y_{2})$ ein.

$(\frac{- 6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6 + 6$ und $2$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$(\frac{2 \cdot - 3 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$(\frac{2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3$ heraus.

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 1.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 (1)}, \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 \cdot 1}, \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 1.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{- 3 + 3}{1}, \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 1.3.4.4

Dividiere $- 3 + 3$ durch $1$ .

$(- 3 + 3, \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 1.4

Addiere $- 3$ und $3$ .

$(0, \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 + 0$ und $2$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$(0, \frac{2 (0) + 0}{2})$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$(0, \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2})$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ heraus.

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2})$

Schritt 1.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (1)})$

Schritt 1.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 \cdot 1})$

Schritt 1.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$(0, \frac{0 + 0}{1})$

Schritt 1.5.4.4

Dividiere $0 + 0$ durch $1$ .

$(0, 0 + 0)$

Schritt 1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$(0, 0)$

Schritt 2

Stelle das Zentrum und die gegebenen Schwerpunkte und Spitzen grafisch dar. Da die Punkte horizontal liegen, öffnet sich die Hyperbel nach links und rechts und die Formel der Hyperbel lautet $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Schritt 3

Finde $a$ , indem du den Abstand zwischen einem Scheitelpunkt und dem Mittelpunkt ermittelst.

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Schritt 3.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$a = \sqrt{{((- 6) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $0$ von $- 6$ .

$a = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Schritt 3.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0}$

Schritt 3.3.5

Addiere $36$ und $0$ .

$a = \sqrt{36}$

Schritt 3.3.6

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$a = \sqrt{6^{2}}$

Schritt 3.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = 6$

Schritt 4

Finde $c$ , indem du den Abstand zwischen einem Fokuspunkt und dem Mittelpunkt ermittelst.

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Schritt 4.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 4.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$c = \sqrt{{((- 8) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $0$ von $- 8$ .

$c = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$c = \sqrt{64 + {(0 - 0)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$c = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Schritt 4.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$c = \sqrt{64 + 0}$

Schritt 4.3.5

Addiere $64$ und $0$ .

$c = \sqrt{64}$

Schritt 4.3.6

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$c = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$c = 8$

Schritt 5

Setze die Werte für $a$ und $c$ in $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ein und löse sie für $b^{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $8$ für $c$ und $6$ für $a$ .

$8^{2} = 6^{2} + b^{2}$

Schritt 5.2

Schreibe die Gleichung als $6^{2} + b^{2} = 8^{2}$ um.

$6^{2} + b^{2} = 8^{2}$

Schritt 5.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$36 + b^{2} = 8^{2}$

Schritt 5.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$36 + b^{2} = 64$

Schritt 5.5

Bringe alle Terme, die nicht $b^{2}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b^{2} = 64 - 36$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $36$ von $64$ .

$b^{2} = 28$

Schritt 6

Ersetze die gefundenen Werte in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 6.1

Ersetze die gefundenen Werte in der Formel.

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28}$ .

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Schritt 6.2.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

Schritt 6.2.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

Schritt 6.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

Schritt 7