Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - y^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| x | = | y |$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | y |$

Schritt 2.3.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = | y |$

Schritt 2.3.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - | y |$

Schritt 2.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 y$ und $c = y^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ als ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ um.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 2 y$ und $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ heraus.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 \cdot 1 y$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (- 1) + 2 y (1)$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.4

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ heraus.

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Schritt 4.3.1.3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.5

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.3.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.6

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.6

$2 y$ plus oder minus $0$ ist $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 y}{2}$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$x = y$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = y$ doppelte Wurzeln

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$5 x + 10 y = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $10 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 10 y$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 10 y$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 10 y$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 10 y}{5}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $5$ .

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Schritt 6.2.2.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 10 y$ heraus.

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5}$

Schritt 6.2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 (1)}$

Schritt 6.2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 2 y}{1}$

Schritt 6.2.2.3.1.2.4

Dividiere $- 2 y$ durch $1$ .

$x = - 2 y$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$