Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{\sqrt{x^{2}} - 1}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{\sqrt{x^{2}} - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x^{2}} - 1 \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{x^{2}} \geq 1$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x^{2}}}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

${(x^{1})}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{1})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{1 \cdot 2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} \geq 1$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{1}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| x | \geq 1$

Schritt 4.4.3

Schreibe $| x | \geq 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.4.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.4.3.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 1$

Schritt 4.4.3.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.4.3.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 1$

Schritt 4.4.3.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.4.4

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 1$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 1$

Schritt 4.4.5

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.5.1

Teile jeden Term in $- x \geq 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.4.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.5.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x \leq - 1$

Schritt 4.4.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 1$ oder $x \geq 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Schritt 6