Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} + 10$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{x} + 10$ als Gleichung.

$y = \sqrt{x} + 10$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y} + 10$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y} + 10 = x$ um.

$\sqrt{y} + 10 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{y} = x - 10$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x - 10)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(x - 10)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 10)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 10)}^{2}$ als $(x - 10) (x - 10)$ um.

$y = (x - 10) (x - 10)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 10) (x - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 10$ .

$y = x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$y = x^{2} - 20 x + 100$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{x} + 10$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{x} + 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(\sqrt{x} + 10)}^{2} - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe ${(\sqrt{x} + 10)}^{2}$ als $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = (\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 10) + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \cdot \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.3.2

Addiere $10 \sqrt{x}$ und $10 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Schritt 5.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 20 \cdot 10 + 100$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $20 \sqrt{x}$ von $20 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0 + 100 - 200 + 100$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 100 - 200 + 100$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $200$ von $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x - 100 + 100$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 100 + 100$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 100$ und $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} - 20 x + 100)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.4.1.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 10^{2}} + 10$

Schritt 5.3.4.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

Schritt 5.3.4.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2}} + 10$

Schritt 5.3.4.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{{(x - 10)}^{2}} + 10$

Schritt 5.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x - 10 + 10$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 10 + 10$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$