Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = - {(x + h)}^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.4

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.5

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 ((x + h) (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.6

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x (x + h) + h (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.7.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.7.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.7.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.7.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 24 (2 h x) + 24 h^{2} - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 (h x) + 24 h^{2} - 179 (x + h) + 495$

Schritt 2.1.2.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$ .

$- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

Schritt 2.2.3

Bewege $- 179 x$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Schritt 2.2.4

Bewege $24 x^{2}$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 48 h x + 24 h^{2} + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Schritt 2.2.5

Bewege $48 h x$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Schritt 2.2.6

Bewege $- x^{3}$ .

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Schritt 2.2.7

Bewege $- 3 h x^{2}$ .

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Schritt 2.2.8

Stelle $- 3 h^{2} x$ und $- h^{3}$ um.

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - (- x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - - x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Multipliziere $- - x^{3}$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + 1 x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 179$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} + 179 x - 1 \cdot 495}{h}$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $495$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $- x^{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + 0 - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- h^{3}$ und $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $24 x^{2}$ von $24 x^{2}$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h - 179 x + 495 + 0 + 179 x - 495}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $- h^{3}$ und $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h - 179 x + 495 + 179 x - 495}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $- 179 x$ und $179 x$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 0 + 495 - 495}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $- h^{3}$ und $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 495 - 495}{h}$

Schritt 4.1.9

Subtrahiere $495$ von $495$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.10

Addiere $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h$ und $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

Schritt 4.1.11

Faktorisiere $h$ aus $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h$ heraus.

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Schritt 4.1.11.1

Faktorisiere $h$ aus $- h^{3}$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

Schritt 4.1.11.2

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h^{2} x$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

Schritt 4.1.11.3

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h x^{2}$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

Schritt 4.1.11.4

Faktorisiere $h$ aus $24 h^{2}$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + 48 h x - 179 h}{h}$

Schritt 4.1.11.5

Faktorisiere $h$ aus $48 h x$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) - 179 h}{h}$

Schritt 4.1.11.6

Faktorisiere $h$ aus $- 179 h$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Schritt 4.1.11.7

Faktorisiere $h$ aus $h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ heraus.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Schritt 4.1.11.8

Faktorisiere $h$ aus $h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ heraus.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Schritt 4.1.11.9

Faktorisiere $h$ aus $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (24 h)$ heraus.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Schritt 4.1.11.10

Faktorisiere $h$ aus $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h) + h (48 x)$ heraus.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Schritt 4.1.11.11

Faktorisiere $h$ aus $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x) + h \cdot - 179$ heraus.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$ durch $1$ .

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $h$ .

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $24 h$ .

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 48 x + 24 h - 179$

Schritt 4.2.2.3

Bewege $- h^{2}$ .

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2} + 48 x + 24 h - 179$

Schritt 4.2.2.4

Stelle $- 3 x h$ und $- 3 x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2} + 48 x + 24 h - 179$

Schritt 5