Elementarmathematik Beispiele

Find $(g \cdot h) (x)$ if $g (x) = x^{2} + 4 x + 9$ and $h (x) = x^{2} - 5 x + 10$

Schritt 1

Berechne $g \cdot h$ .

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Schritt 1.1

Ersetze die Funktionsbezeichner in $g \cdot h$ durch die tatsächlichen Funktionen.

$(x^{2} + 4 x + 9) \cdot (x^{2} - 5 x + 10)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x^{2} + 4 x + 9) (x^{2} - 5 x + 10)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 5 x) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 5 x) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 5 x) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - 5 x^{2} x + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{4} - 5 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} - 5 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} - 5 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.4

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 \cdot x^{2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 (x^{2} x) + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.3.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot - 5 x \cdot x + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.7.1

Bewege $x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot - 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{2} + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.9

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.10

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 9 \cdot 10$

Schritt 1.3.1.11

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 90$

Schritt 1.3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.3.2.1

Addiere $- 5 x^{3}$ und $4 x^{3}$ .

$x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 90$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $20 x^{2}$ von $10 x^{2}$ .

$x^{4} - x^{3} - 10 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 90$

Schritt 1.3.2.3

Addiere $- 10 x^{2}$ und $9 x^{2}$ .

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 40 x - 45 x + 90$

Schritt 1.3.2.4

Subtrahiere $45 x$ von $40 x$ .

$x^{4} - x^{3} - x^{2} - 5 x + 90$

Schritt 2

Berechne $g \cdot h$ bei $x$ .

${(x)}^{4} - {(x)}^{3} - {(x)}^{2} - 5 x + 90$

Schritt 3

Vereinfache ${(x)}^{4} - {(x)}^{3} - {(x)}^{2} - 5 x + 90$ .

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Schritt 3.1

Entferne die Klammern.

${(x)}^{4} - {(x)}^{3} - {(x)}^{2} - 5 x + 90$

Schritt 3.2

Entferne die Klammern.

$x^{4} - x^{3} - x^{2} - 5 x + 90$