Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}}$ als Gleichung.

$y = 10 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 10 y^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $10 y^{\frac{1}{3}} = x$ um.

$10 y^{\frac{1}{3}} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $10 y^{\frac{1}{3}} = x$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y^{\frac{1}{3}} = x$ durch $10$ .

$\frac{10 y^{\frac{1}{3}}}{10} = \frac{x}{10}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y^{\frac{1}{3}}}{10} = \frac{x}{10}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{10}$

Schritt 3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{x}{10})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{10}$ an.

$y = \frac{x^{3}}{10^{3}}$

Schritt 3.4.2.1.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{1000}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $10 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{10^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{1000}$

Schritt 5.2.3.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{1000}$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{1000}$

Schritt 5.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{1000}$

Schritt 5.2.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x}{1000}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x}{1000}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1000$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x}{1000}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{1000})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{x^{3}}{1000})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{3}}{1000}$ an.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.5.1

Schreibe $1000$ als $10^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{{(10^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10^{3 (\frac{1}{3})}})$

Schritt 5.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10^{3 (\frac{1}{3})}})$

Schritt 5.3.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Schritt 5.3.5.4

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000}$