Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{x^{2} + 2}{x^{3} - x}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 2}{x^{3} - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} - x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ heraus.

$x (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, 1, - 1}$

Schritt 4