Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{2 - e^{3 x + 1}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1 + x^{2}}{2 - e^{3 x + 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - e^{3 x + 1} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{3 x + 1} = - 2$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{3 x + 1} = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{3 x + 1} = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{3 x + 1}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{3 x + 1}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $e^{3 x + 1}$ durch $1$ .

$e^{3 x + 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$e^{3 x + 1} = 2$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{3 x + 1}) = \ln (2)$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Zerlege $\ln (e^{3 x + 1})$ durch Herausziehen von $3 x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 1) \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(3 x + 1) \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3 x + 1$ mit $1$ .

$3 x + 1 = \ln (2)$

Schritt 2.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \ln (2) - 1$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \ln (2) - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \ln (2) - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{\ln (2)}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{\ln (2)}{3} - \frac{1}{3}) \cup (\frac{\ln (2)}{3} - \frac{1}{3}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{\ln (2)}{3} - \frac{1}{3}}$

Schritt 4