Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ als Gleichung.

$y = 10 \sqrt[4]{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 10 \sqrt[4]{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $10 \sqrt[4]{y} = x$ um.

$10 \sqrt[4]{y} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $10 \sqrt[4]{y} = x$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 \sqrt[4]{y} = x$ durch $10$ .

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt[4]{y}$ durch $1$ .

$\sqrt[4]{y} = \frac{x}{10}$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{y}$ als $y^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{10})}^{4}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{10}$ an.

$y = \frac{x^{4}}{10^{4}}$

Schritt 3.4.3.1.2

Potenziere $10$ mit $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{10000}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{{(10 \sqrt[4]{x})}^{4}}{10000}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt[4]{x}$ an.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10^{4} {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

Schritt 5.2.3.2

Potenziere $10$ mit $4$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{10000}$

Schritt 5.2.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{10000}$

Schritt 5.2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

Schritt 5.2.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

Schritt 5.2.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Schritt 5.2.3.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10000$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{4}}{10000})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $10000$ als $10^{4}$ um.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10^{4}}}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $\frac{x^{4}}{10^{4}}$ als ${(\frac{x}{10})}^{4}$ um.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{{(\frac{x}{10})}^{4}}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$