Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ nicht definiert ist.

$x = - 3, x = 3$

Schritt 2

Da $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 3$ von links und $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 3$ von rechts, dann ist $x = - 3$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 3$

Schritt 3

Da $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $3$ von links und $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $3$ von rechts, dann ist $x = 3$ eine vertikale Asymptote.

$x = 3$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - 3, 3$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 7

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 8

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 2 x^{2} - 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Schritt 8.1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Schritt 8.1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

Schritt 8.1.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ heraus.

$\frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

Schritt 8.1.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8$ heraus.

$\frac{x (x^{2} - 2 x - 8)}{3 x^{2} - 27}$

Schritt 8.1.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 8.1.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x ((x - 4) (x + 2))}{3 x^{2} - 27}$

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} - 27}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 27$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2}) - 27}$

Schritt 8.1.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 9}$

Schritt 8.1.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 \cdot - 9$ heraus.

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 9)}$

Schritt 8.1.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 3^{2})}$

Schritt 8.1.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2

Multipliziere $x (x - 4) (x + 2)$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x (x + 2) + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.5

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (2 x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.6

Stelle $x$ und $2$ um.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.7

Stelle $x$ und $- 4$ um.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.8

Stelle $x$ und $- 4$ um.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot x \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.9

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.18

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.20

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.22

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.23

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.24

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.26

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.27

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.28

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.3

Multipliziere $3 (x + 3) (x - 3)$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{(3 x + 3 \cdot 3) (x - 3)}$

Schritt 8.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x - 3) + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

Schritt 8.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

Schritt 8.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.5

Bewege $x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.13

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x - 27}$

Schritt 8.3.14

Addiere $- 9 x$ und $9 x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 0 - 27}$

Schritt 8.3.15

Subtrahiere $27$ von $0$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Schritt 8.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Schritt 8.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x^{2}$ .

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Schritt 8.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Schritt 8.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 0 - 9 x$

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$

Schritt 8.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$2 x^{2}$

$x$

Schritt 8.9

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Schritt 8.10

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x^{2}$ .

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Schritt 8.11

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$18$

Schritt 8.12

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 0 + 18$

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$

Schritt 8.13

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$
									+	$x$	-	$18$

Schritt 8.14

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{x - 18}{3 x^{2} - 27}$

Schritt 8.15

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 3, 3$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 10