Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ als ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ um.

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2}$ um.

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

Schritt 5.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{x + h}$ und $b = \frac{1}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache.

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Schritt 5.1.5.1

Um $\frac{1}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 5.1.5.2

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 5.1.5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 5.1.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 5.1.5.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 5.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 5.1.5.5

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 5.1.5.6

Um $\frac{1}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 5.1.5.7

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Schritt 5.1.5.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1.5.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Schritt 5.1.5.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Schritt 5.1.5.8.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Schritt 5.1.5.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 5.1.5.10

Schreibe $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.5.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 5.1.5.10.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 5.1.5.10.3

Subtrahiere $h$ von $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 5.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 5.1.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Schritt 5.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ mit $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Schritt 5.1.7.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

Schritt 5.1.7.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Schritt 5.1.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Schritt 5.1.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Schritt 5.1.7.7

Potenziere $x + h$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

Schritt 5.1.7.8

Potenziere $x + h$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

Schritt 5.1.7.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Schritt 5.1.7.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- (2 x + h) h$ heraus.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 6