Elementarmathematik Beispiele

$\frac{6 x^{2} + 5 x y - 6 y^{2}}{3 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{6 x^{2} + 5 x y - 6 y^{2}}{3 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 5 y$ und $c = 2 y^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 y \pm \sqrt{{(- 5 y)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (2 y^{2}))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 y$ an.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{25 y^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{25 y^{2} - 12 \cdot (2 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.3.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{25 y^{2} - 24 y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.4

Subtrahiere $24 y^{2}$ von $25 y^{2}$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{5 y \pm y}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{5 y \pm y}{6}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 y$ an.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{25 y^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.3

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 2.4.1.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{25 y^{2} - 12 \cdot (2 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.3.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{25 y^{2} - 24 y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.4

Subtrahiere $24 y^{2}$ von $25 y^{2}$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{5 y \pm y}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{5 y \pm y}{6}$

Schritt 2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 y + y}{6}$

Schritt 2.4.4

Addiere $5 y$ und $y$ .

$x = \frac{6 y}{6}$

Schritt 2.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.4.5.1

Forme um.

$x = 1 y$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x = y$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 y$ an.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{25 y^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.3

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.1.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{25 y^{2} - 12 \cdot (2 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.3.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{25 y^{2} - 24 y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4

Subtrahiere $24 y^{2}$ von $25 y^{2}$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{5 y \pm y}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{5 y \pm y}{6}$

Schritt 2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 y - y}{6}$

Schritt 2.5.4

Subtrahiere $y$ von $5 y$ .

$x = \frac{4 y}{6}$

Schritt 2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 2.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$x = \frac{2 (2 y)}{6}$

Schritt 2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 (2 y)}{2 (3)}$

Schritt 2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = y$

$x = \frac{2 y}{3}$

$x = y$

$x = \frac{2 y}{3}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$