Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ , $x + 2$

Schritt 1

Dividiere $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ mittels synthetischer Division und prüfe, ob der Rest gleich $0$ ist. Wenn der Rest gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x + 2$ ein Teiler von $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ ist. Wenn der Rest nicht gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x + 2$ kein Teiler von $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ ist.

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Schritt 1.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

Schritt 1.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$

Schritt 1.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$	$0$

Schritt 1.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 1.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Schritt 1.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 8)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Schritt 1.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Schritt 1.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 8)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Schritt 1.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$	$0$

Schritt 1.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x - 8$

Schritt 1.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 8$

Schritt 2

Der Rest der Division von $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ ist $0$ , was bedeutet, dass $x + 2$ ein Teiler von $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ ist.

$x + 2$ ist ein Faktor für $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$

Schritt 3

Finde alle möglichen Wurzeln für $x^{3} - 8$ .

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Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Schritt 4

Setze die nächste Division an, um festzustellen, ob $x - 2$ ein Faktor des Polynoms $x^{3} - 8$ ist.

$\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Schritt 5

Dividiere den Ausdruck mittels synthetischer Division, um festzustellen, ob er ein Teiler des Polynoms ist. Da $x - 2$ $x^{3} - 8$ ohne Rest teilt, ist $x - 2$ ein Teiler des Polynoms und es gibt ein Restpolynom $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Schritt 5.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Schritt 5.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

	$1$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$

Schritt 5.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$	$2$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Schritt 5.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$4$

Schritt 5.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 8)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$

Schritt 5.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$	$0$

Schritt 5.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 2 x + 4$

Schritt 5.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + 2 x + 4$

Schritt 6

Finde alle möglichen Wurzeln für $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Schritt 6.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 7

Der letzte Faktor ist der einzige Faktor, der aus der synthetischen Division übrig geblieben ist.

$x^{2} + 2 x + 4$

Schritt 8

Das faktorisierte Polynom ist $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$