Elementarmathematik Beispiele

$3 x - y^{2} = 4 x + 25$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - y^{2} - 4 x = 25$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$- y^{2} - x = 25$

Schritt 1.1.2

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 25 + y^{2}$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = 25 + y^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 25 + y^{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Dividiere $25$ durch $- 1$ .

$x = - 25 + \frac{y^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 25 - 1 \cdot y^{2}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$x = - 25 - y^{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 25 - y^{2}$ an.

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Schritt 1.2.1

Stelle $- 25$ und $- y^{2}$ um.

$- y^{2} - 25$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 0$

$c = - 25$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Schreibe $- 1 \cdot 0$ als $- 0$ um.

$d = - 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$d = 0$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = - 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 25 - \frac{0}{- 4}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$e = - 25 - 0$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = - 25 + 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Addiere $- 25$ und $0$ .

$e = - 25$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y + 0)}^{2} - 25$ ein.

$- {(y + 0)}^{2} - 25$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - {(y + 0)}^{2} - 25$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = - 25$

$k = 0$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 25, 0)$

Schritt 4