Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 8 x^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 8 x^{7}$ als Gleichung.

$y = 8 x^{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 8 y^{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $8 y^{7} = x$ um.

$8 y^{7} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{7} = x$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{7} = x$ durch $8$ .

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y^{7}$ durch $1$ .

$y^{7} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{8}}$

Schritt 3.4

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{x}{8}}$ als $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 x^{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (8 x^{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \frac{\sqrt[7]{8 x^{7}}}{\sqrt[7]{8}}$

Schritt 5.2.3

Vereinige $\sqrt[7]{8 x^{7}}$ und $\sqrt[7]{8}$ zu einer einzigen Wurzel.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{8 x^{7}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Schritt 5.2.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Schritt 5.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})}^{7}$

Schritt 5.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ an.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x}$ als $x^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Schritt 5.3.5

Schreibe ${\sqrt[7]{8}}^{7}$ als $8$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{8}$ als $8^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{(8^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Schritt 5.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Schritt 5.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Schritt 5.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Schritt 5.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 8 x^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$