Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} ({(1 + y)}^{2}) = 2$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{3} ({(1 + y)}^{2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

${(1 + y)}^{2} > 0$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{{(1 + y)}^{2}} > \sqrt{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| 1 + y | > \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$| 1 + y | > \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| 1 + y | > | 0 |$

Schritt 2.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$| 1 + y | > 0$

Schritt 2.3

Schreibe $| 1 + y | > 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$1 + y \geq 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y \geq - 1$

Schritt 2.3.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $1 + y$ nicht negativ ist.

$1 + y > 0$

Schritt 2.3.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$1 + y < 0$

Schritt 2.3.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y < - 1$

Schritt 2.3.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $1 + y$ negativ ist.

$- (1 + y) > 0$

Schritt 2.3.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 1 + y > 0 & y \geq - 1 \\ - (1 + y) > 0 & y < - 1 \end{cases}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache $- (1 + y) > 0$ .

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Schritt 2.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 1 + y > 0 & y \geq - 1 \\ - 1 \cdot 1 - y > 0 & y < - 1 \end{cases}$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${\begin{cases} 1 + y > 0 & y \geq - 1 \\ - 1 - y > 0 & y < - 1 \end{cases}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y > - 1$

Schritt 2.5

Löse $- 1 - y > 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- y > 1$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- y > 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Term in $- y > 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} < \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y < \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$y < - 1$

Schritt 2.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$y < - 1$ oder $y > - 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \neq - 1}$

Schritt 4