Elementarmathematik Beispiele

$(\frac{a}{a - b} - \frac{a - b}{a + b} + \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{a}{a - b}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a - b = 0$

Schritt 2

Addiere $b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = b$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{a - b}{a + b}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a + b = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - b$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a^{2} - b^{2} = 0$

Schritt 6

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $b^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} = b^{2}$

Schritt 6.2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| a | = | b |$

Schritt 6.3

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.3.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$a = \pm | b |$

Schritt 6.3.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$a = | b |$

Schritt 6.3.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$a = - | b |$

Schritt 6.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$a = | b |$

$a = - | b |$

$a = | b |$

$a = - | b |$

$a = | b |$

$a = - | b |$

$a = | b |$

$a = - | b |$

Schritt 7

Setze den Nenner in $\frac{a - b}{3 a b}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 a b = 0$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $3 a b = 0$ durch $3 b$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $3 a b = 0$ durch $3 b$ .

$\frac{3 a b}{3 b} = \frac{0}{3 b}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a b}{3 b} = \frac{0}{3 b}$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a b}{b} = \frac{0}{3 b}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a b}{b} = \frac{0}{3 b}$

Schritt 8.2.2.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{0}{3 b}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$a = \frac{3 (0)}{3 b}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 b$ heraus.

$a = \frac{3 (0)}{3 (b)}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{3 \cdot 0}{3 b}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{0}{b}$

Schritt 8.3.2

Dividiere $0$ durch $b$ .

$a = 0$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $a$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${a | a \neq 0}$