Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ , $[- 2, 2]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ stetig ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 2, 2]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{3} + 6 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$- 6 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $- 6 x^{2} + 6$ und $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(- 2, 2)$ stetig ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(- 2, 2)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(- 2, 2)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(- 2, 2)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[- 2, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 2, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(- 2, 2)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[- 2, 2]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Multipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1.1.1

Potenziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

Schritt 7.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 3} + 6 (- 2) - 2$

Schritt 7.2.1.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} + 6 (- 2) - 2$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = 16 + 6 (- 2) - 2$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 12 - 2$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $16$ .

$f (- 2) = 4 - 2$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f (- 2) = 2$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall $[- 2, 2]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - 2 {(2)}^{3} + 6 (2) - 2$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = - 2 \cdot 8 + 6 (2) - 2$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$f (2) = - 16 + 6 (2) - 2$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (2) = - 16 + 12 - 2$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Addiere $- 16$ und $12$ .

$f (2) = - 4 - 2$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$f (2) = - 6$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 9

Löse $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache $\frac{(- 6) - (2)}{(2) - (- 2)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(- 6) - (2)$ und $(2) - (- 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1.1.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6) - (2)}{(2) - (- 2)}$

Schritt 9.1.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - (2)$ heraus.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6 + 2)}{(2) - (- 2)}$

Schritt 9.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (6 + 2)$ heraus.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 - (- 2)}$

Schritt 9.1.1.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) - (- 2)}$

Schritt 9.1.1.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- (- 2)$ heraus.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) + 2 (- (- 1))}$

Schritt 9.1.1.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- (- 1))$ heraus.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

Schritt 9.1.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

Schritt 9.1.1.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (3 + 1)}{1 - (- 1)}$

Schritt 9.1.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 - (- 1)}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 + 1}$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{2}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 4}{2}$

Schritt 9.1.3.2

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$- 6 x^{2} + 6 = - 2$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x^{2} = - 2 - 6$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $6$ von $- 2$ .

$- 6 x^{2} = - 8$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{2} = - 8$ durch $- 6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{2} = - 8$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

Schritt 9.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 6}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $- 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 8$ heraus.

$x^{2} = \frac{- 2 (4)}{- 6}$

Schritt 9.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

Schritt 9.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

Schritt 9.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Schritt 9.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 9.5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 9.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 9.5.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 9.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 9.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 9.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 9.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 9.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 9.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 10

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = - 2$ und $b = 2$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = - 2$ und $b = 2$ verläuft

Schritt 11

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = - 2$ und $b = 2$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = - 2$ und $b = 2$ verläuft

Schritt 12