Elementarmathematik Beispiele

$\frac{m^{2} + m - m n - n}{m^{2} + m + m n + n} \div \frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{m^{2} + m - m n - n}{m^{2} + m + m n + n}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$m^{2} + m + m n + n = 0$

Schritt 2

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1 + n$ und $c = n$ in die Quadratformel ein und löse nach $m$ auf.

$\frac{- (1 + n) \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 \cdot 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe ${(1 + n)}^{2}$ als $(1 + n) (1 + n)$ um.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{(1 + n) (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $(1 + n) (1 + n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 (1 + n) + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5.1.4

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5.2

Addiere $n$ und $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.7

Subtrahiere $4 n$ von $2 n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.8

Stelle die Terme um.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.3.1.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 2.3.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 \cdot 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Schreibe ${(1 + n)}^{2}$ als $(1 + n) (1 + n)$ um.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{(1 + n) (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4

Multipliziere $(1 + n) (1 + n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 (1 + n) + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5.1.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5.1.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5.1.4

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5.2

Addiere $n$ und $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.7

Subtrahiere $4 n$ von $2 n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.8

Stelle die Terme um.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.4.1.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 2.4.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2}$

Schritt 2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$m = \frac{- 1 - n + n - 1}{2}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$m = \frac{- n + n - 2}{2}$

Schritt 2.4.4.2

Addiere $- n$ und $n$ .

$m = \frac{0 - 2}{2}$

Schritt 2.4.4.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$m = \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.4.5

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$m = - 1$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 \cdot 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Schreibe ${(1 + n)}^{2}$ als $(1 + n) (1 + n)$ um.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{(1 + n) (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Multipliziere $(1 + n) (1 + n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 (1 + n) + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5.1.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5.1.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5.1.4

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5.2

Addiere $n$ und $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.7

Subtrahiere $4 n$ von $2 n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.8

Stelle die Terme um.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.5.1.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 2.5.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2}$

Schritt 2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$m = \frac{- 1 - n - (n - 1)}{2}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 1 - n - n + 1}{2}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{- 1 - n - n + 1}{2}$

Schritt 2.5.4.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$m = \frac{- n - n + 0}{2}$

Schritt 2.5.4.4

Addiere $- n - n$ und $0$ .

$m = \frac{- n - n}{2}$

Schritt 2.5.4.5

Subtrahiere $n$ von $- n$ .

$m = \frac{- 2 n}{2}$

Schritt 2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 n$ heraus.

$m = \frac{2 (- n)}{2}$

Schritt 2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$m = \frac{2 (- n)}{2 (1)}$

Schritt 2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \frac{2 (- n)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$m = \frac{- n}{1}$

Schritt 2.5.5.2.4

Dividiere $- n$ durch $1$ .

$m = - n$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$m = - 1, - n$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$m^{2} - m + m n - n = 0$

Schritt 4

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1 + n$ und $c = - n$ in die Quadratformel ein und löse nach $m$ auf.

$\frac{- (- 1 + n) \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- n))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Schreibe ${(- 1 + n)}^{2}$ als $(- 1 + n) (- 1 + n)$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{(- 1 + n) (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $(- 1 + n) (- 1 + n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 (- 1 + n) + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5.1.2

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - 1 \cdot n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5.1.4

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5.1.5

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5.2

Subtrahiere $n$ von $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.6

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} + 4 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.7

Addiere $- 2 n$ und $4 n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} + 2 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.8

Stelle die Terme um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.1.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 4.3.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(n + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Schreibe ${(- 1 + n)}^{2}$ als $(- 1 + n) (- 1 + n)$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{(- 1 + n) (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Multipliziere $(- 1 + n) (- 1 + n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 (- 1 + n) + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5.1.2

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - 1 \cdot n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5.1.4

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5.1.5

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5.2

Subtrahiere $n$ von $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.6

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} + 4 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.7

Addiere $- 2 n$ und $4 n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} + 2 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.8

Stelle die Terme um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 4.4.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(n + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2}$

Schritt 4.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$m = \frac{1 - n + n + 1}{2}$

Schritt 4.4.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.4.1

Addiere $1$ und $1$ .

$m = \frac{- n + n + 2}{2}$

Schritt 4.4.4.2

Addiere $- n$ und $n$ .

$m = \frac{0 + 2}{2}$

Schritt 4.4.4.3

Addiere $0$ und $2$ .

$m = \frac{2}{2}$

Schritt 4.4.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$m = 1$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Schreibe ${(- 1 + n)}^{2}$ als $(- 1 + n) (- 1 + n)$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{(- 1 + n) (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Multipliziere $(- 1 + n) (- 1 + n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 (- 1 + n) + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5.1.2

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - 1 \cdot n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5.1.4

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5.1.5

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5.2

Subtrahiere $n$ von $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} + 4 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.7

Addiere $- 2 n$ und $4 n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} + 2 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.8

Stelle die Terme um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 4.5.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(n + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2}$

Schritt 4.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$m = \frac{1 - n - (n + 1)}{2}$

Schritt 4.5.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 - n - n - 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 4.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$m = \frac{1 - n - n - 1}{2}$

Schritt 4.5.4.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$m = \frac{- n - n + 0}{2}$

Schritt 4.5.4.4

Addiere $- n - n$ und $0$ .

$m = \frac{- n - n}{2}$

Schritt 4.5.4.5

Subtrahiere $n$ von $- n$ .

$m = \frac{- 2 n}{2}$

Schritt 4.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 n$ heraus.

$m = \frac{2 (- n)}{2}$

Schritt 4.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$m = \frac{2 (- n)}{2 (1)}$

Schritt 4.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \frac{2 (- n)}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$m = \frac{- n}{1}$

Schritt 4.5.5.2.4

Dividiere $- n$ durch $1$ .

$m = - n$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$m = 1, - n$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{m^{2} + m - m n - n}{m^{2} + m + m n + n} \div \frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n} = 0$

Schritt 6

Löse nach $m$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$m^{2} - m - m n + n = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $m$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1 - n$ und $c = n$ in die Quadratformel ein und löse nach $m$ auf.

$\frac{- (- 1 - n) \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot n)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Multipliziere $- - n$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + 1 n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe ${(- 1 - n)}^{2}$ als $(- 1 - n) (- 1 - n)$ um.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{(- 1 - n) (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Multipliziere $(- 1 - n) (- 1 - n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 (- 1 - n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.1.2

Multipliziere $- 1 (- n)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 1 n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.1.3

Multipliziere $- n \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + 1 n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.1.3.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.1.5

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.6.1.5.1

Bewege $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.1.5.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + 1 n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.1.7

Mutltipliziere $n^{2}$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6.2

Addiere $n$ und $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.8

Subtrahiere $4 n$ von $2 n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.9

Stelle die Terme um.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.10.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 6.2.3.1.10.3

Schreibe das Polynom neu.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.3

Multipliziere $- - n$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + 1 n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.3.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe ${(- 1 - n)}^{2}$ als $(- 1 - n) (- 1 - n)$ um.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{(- 1 - n) (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.5

Multipliziere $(- 1 - n) (- 1 - n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 (- 1 - n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.1.2

Multipliziere $- 1 (- n)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 1 n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.1.3

Multipliziere $- n \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + 1 n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.1.3.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.1.5

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.6.1.5.1

Bewege $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.1.5.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + 1 n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.1.7

Mutltipliziere $n^{2}$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6.2

Addiere $n$ und $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.8

Subtrahiere $4 n$ von $2 n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.9

Stelle die Terme um.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.2.4.1.10.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 6.2.4.1.10.3

Schreibe das Polynom neu.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$m = \frac{1 + n + n - 1}{2}$

Schritt 6.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$m = \frac{n + n + 0}{2}$

Schritt 6.2.4.4.2

Addiere $n + n$ und $0$ .

$m = \frac{n + n}{2}$

Schritt 6.2.4.4.3

Addiere $n$ und $n$ .

$m = \frac{2 n}{2}$

Schritt 6.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \frac{2 n}{2}$

Schritt 6.2.4.5.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$m = n$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.3

Multipliziere $- - n$ .

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Schritt 6.2.5.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + 1 n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.3.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.4

Schreibe ${(- 1 - n)}^{2}$ als $(- 1 - n) (- 1 - n)$ um.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{(- 1 - n) (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.5

Multipliziere $(- 1 - n) (- 1 - n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 (- 1 - n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.5.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.5.1.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.1.2

Multipliziere $- 1 (- n)$ .

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Schritt 6.2.5.1.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 1 n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.1.3

Multipliziere $- n \cdot - 1$ .

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Schritt 6.2.5.1.6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + 1 n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.1.3.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.1.5

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.5.1.6.1.5.1

Bewege $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.1.5.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + 1 n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.1.7

Mutltipliziere $n^{2}$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6.2

Addiere $n$ und $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.8

Subtrahiere $4 n$ von $2 n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.9

Stelle die Terme um.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.2.5.1.10.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 6.2.5.1.10.3

Schreibe das Polynom neu.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$m = \frac{1 + n - (n - 1)}{2}$

Schritt 6.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{1 + n - n + 1}{2}$

Schritt 6.2.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{1 + n - n + 1}{2}$

Schritt 6.2.5.4.3

Addiere $1$ und $1$ .

$m = \frac{n - n + 2}{2}$

Schritt 6.2.5.4.4

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$m = \frac{0 + 2}{2}$

Schritt 6.2.5.4.5

Addiere $0$ und $2$ .

$m = \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.5.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$m = 1$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$m = n, 1$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $m$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${m | m \neq 1, - 1, m \neq - n, m \neq n}$ , für jede Ganzzahl $n$