Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

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Schritt 2.1.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + \frac{3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x + 3 \cdot - 2}{x - 2} \geq 0$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x - 6}{x - 2} \geq 0$

Schritt 2.1.3.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x - 2} \geq 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 2.1.3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Schritt 2.2

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.5

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1$

$x = - 4$

$x = 2$

Schritt 2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, - 4, 2$

Schritt 2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

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Schritt 2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 2.8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2}{(- 6) - 2} + 3 \geq 0$

Schritt 2.10.1.3

Die linke Seite $- 1.75$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} + 2}{(0) - 2} + 3 \geq 0$

Schritt 2.10.2.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.5$

Schritt 2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(1.5)}^{2} + 2}{(1.5) - 2} + 3 \geq 0$

Schritt 2.10.3.3

Die linke Seite $- 5.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.10.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2} + 2}{(4) - 2} + 3 \geq 0$

Schritt 2.10.4.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x \leq 1$ oder $x > 2$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 4, 1] \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 4 \leq x \leq 1, x > 2}$

Schritt 6