Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{1 + \ln (x)}$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 + \ln (x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + \ln (x) \geq 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$1 + \ln (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) = - 1$

Schritt 3.2.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\ln (x) = - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Schritt 3.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- 1}$ um.

$x = e^{- 1}$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Schritt 3.3

Bestimme den Definitionsbereich von $1 + \ln (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 3.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 3.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq \frac{1}{e}$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[\frac{1}{e}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq \frac{1}{e}}$

Schritt 5