Elementarmathematik Beispiele

$\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y^{2} - 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = 1$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \pm 1$

Schritt 2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 1$

Schritt 2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 1$

Schritt 2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 1, - 1$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y^{2} + 5 y + 4 = 0$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y^{2} + 5 y + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y + 1) (y + 4) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$y + 4 = 0$

Schritt 4.3

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 4.4

Setze $y + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $y + 4$ gleich $0$ .

$y + 4 = 0$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 4$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y + 1) (y + 4) = 0$ wahr machen.

$y = - 1, - 4$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4} = 0$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$y^{2} - 9 = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = 9$

Schritt 6.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{9}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 3$

Schritt 6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 3$

Schritt 6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 3$

Schritt 6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 3, - 3$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \neq 1, - 1, 3, - 3, - 4}$

Schritt 8