Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\ln (3 - x)}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (3 - x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$3 - x > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x > - 3$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x > - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- x > - 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x < 3$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 1 \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 1$

Schritt 4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| x | \geq 1$

Schritt 4.4

Schreibe $| x | \geq 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 1$

Schritt 4.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 1$

Schritt 4.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 1$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 1$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x \leq - 1$

Schritt 4.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 1$ oder $x \geq 1$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{\ln (3 - x)}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 1}$ als ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 6.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 6.3.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 6.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 6.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 6.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (1, 3)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 1, 1 < x < 3}$

Schritt 8