Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{4}{4 - \sqrt{25 - x^{2}}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{25 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$25 - x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 25$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 25$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 25$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 25$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 25$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

Schritt 2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{25}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{25}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 5 |$

Schritt 2.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$| x | \leq 5$

Schritt 2.5

Schreibe $| x | \leq 5$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 5$

Schritt 2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 5$

Schritt 2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 5$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 5$

Schritt 2.7

Löse $- x \leq 5$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{5}{- 1}$

Schritt 2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.1.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x \geq - 5$

Schritt 2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 5$ und $x < 0$ .

$- 5 \leq x < 0$

Schritt 2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 5 \leq x \leq 5$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{4}{4 - \sqrt{25 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - \sqrt{25 - x^{2}} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{25 - x^{2}} = - 4$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{25 - x^{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 - x^{2}}$ als ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${(- {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(25 - x^{2})}^{1} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.5

Vereinfache.

$25 - x^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$25 - x^{2} = 16$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = 16 - 25$

Schritt 4.4.1.2

Subtrahiere $25$ von $16$ .

$- x^{2} = - 9$

Schritt 4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 4.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 4.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 4.4.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 4.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 4.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 4.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 5, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, 5]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 5 \leq x \leq 5, x \neq 3, - 3}$

Schritt 6