Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{x^{2} - x y} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2} - x y}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - x y = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x y$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - x y = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$x \cdot x + x (- 1 y) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 y)$ heraus.

$x (x - 1 y) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$x (x - y) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - y = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - y$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - y$ gleich $0$ .

$x - y = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = y$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - y) = 0$ wahr machen.

$x = 0$

$x = y$

$x = 0$

$x = y$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - y^{2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = y^{2}$

Schritt 4.2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| x | = | y |$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | y |$

Schritt 4.3.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = | y |$

Schritt 4.3.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - | y |$

Schritt 4.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{x + y}{y^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y^{3} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$y = 0$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$