Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2 - x - x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 \geq 0$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x + 1}}{2 - x - x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x - x^{2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 - x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.1.1.1.1

Bewege $2$ .

$- x - x^{2} + 2 = 0$

Schritt 4.1.1.1.2

Stelle $- x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} - x + 2 = 0$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - x + 2 = 0$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- (x^{2}) - (x) + 2 = 0$

Schritt 4.1.1.4

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (x)$ heraus.

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.1.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + x) - 1 (- 2)$ heraus.

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 4.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 4.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 1, x \neq 1}$

Schritt 6