Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 3 x + 2$ , $x + 2$

Schritt 1

Dividiere $\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x + 2}$ mittels synthetischer Division und prüfe, ob der Rest gleich $0$ ist. Wenn der Rest gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x + 2$ ein Teiler von $x^{3} - 3 x + 2$ ist. Wenn der Rest nicht gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x + 2$ kein Teiler von $x^{3} - 3 x + 2$ ist.

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Schritt 1.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$	$1$	$0$	$- 3$	$2$

Schritt 1.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$	$1$	$0$	$- 3$	$2$

	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$- 3$	$2$
		$- 2$
	$1$

Schritt 1.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$0$	$- 3$	$2$
		$- 2$
	$1$	$- 2$

Schritt 1.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$- 3$	$2$
		$- 2$	$4$
	$1$	$- 2$

Schritt 1.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$0$	$- 3$	$2$
		$- 2$	$4$
	$1$	$- 2$	$1$

Schritt 1.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$- 3$	$2$
		$- 2$	$4$	$- 2$
	$1$	$- 2$	$1$

Schritt 1.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$0$	$- 3$	$2$
		$- 2$	$4$	$- 2$
	$1$	$- 2$	$1$	$0$

Schritt 1.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + - 2 x + 1$

Schritt 1.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 2

Der Rest der Division von $\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x + 2}$ ist $0$ , was bedeutet, dass $x + 2$ ein Teiler von $x^{3} - 3 x + 2$ ist.

$x + 2$ ist ein Faktor für $x^{3} - 3 x + 2$

Schritt 3

Finde alle möglichen Wurzeln für $x^{2} - 2 x + 1$ .

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Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 4

Setze die nächste Division an, um festzustellen, ob $x - 1$ ein Faktor des Polynoms $x^{2} - 2 x + 1$ ist.

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$

Schritt 5

Dividiere den Ausdruck mittels synthetischer Division, um festzustellen, ob er ein Teiler des Polynoms ist. Da $x - 1$ $x^{2} - 2 x + 1$ ohne Rest teilt, ist $x - 1$ ein Teiler des Polynoms und es gibt ein Restpolynom $x - 1$ .

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Schritt 5.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$- 2$	$1$

Schritt 5.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$- 2$	$1$

	$1$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$1$
		$1$
	$1$

Schritt 5.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 2$	$1$
		$1$
	$1$	$- 1$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$1$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$

Schritt 5.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 2$	$1$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$	$0$

Schritt 5.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(1) x - 1$

Schritt 5.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x - 1$

Schritt 6

Der letzte Faktor ist der einzige Faktor, der aus der synthetischen Division übrig geblieben ist.

$x - 1$

Schritt 7

Das faktorisierte Polynom ist $(x + 2) (x - 1) (x - 1)$ .

$(x + 2) (x - 1) (x - 1)$