Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{x}}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - \sqrt{x} \geq 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \sqrt{x} \geq - 2$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(- \sqrt{x})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5

Vereinfache.

$x \geq {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x \geq 4$

Schritt 3.4

Bestimme den Definitionsbereich von $2 - \sqrt{x}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 3.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 3.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 3.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 - \sqrt{- 2} \geq 0$

Schritt 3.6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 3.6.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 - \sqrt{2} \geq 0$

Schritt 3.6.2.3

Die linke Seite $0.58578643$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 3.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 - \sqrt{6} \geq 0$

Schritt 3.6.3.3

Die linke Seite $- 0.44948974$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 3.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 4$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{x}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{2 - \sqrt{x}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 - \sqrt{x}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ als ${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache ${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 - \sqrt{x})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache.

$2 - \sqrt{x} = 0^{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 - \sqrt{x} = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{x} = - 2$

Schritt 5.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{x})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.1.3

Mutltipliziere ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.1.5

Vereinfache.

$x = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = 4$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, 4)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 0 \leq x < 4}$

Schritt 7