Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 8 x} - \frac{\sqrt{x + 1}}{1 - x}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 \geq 0$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 8 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} + 2 x^{2} - 8 x = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 2 x^{2} - 8 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 8 x = 0$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (2 x) - 8 x = 0$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 8 = 0$

Schritt 4.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ heraus.

$x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 8 = 0$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 8$ heraus.

$x (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

Schritt 4.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Schritt 4.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 2) (x + 4) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 4$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x + 1}}{1 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - x = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 1, x \neq 0, 1, 2}$

Schritt 8