Elementarmathematik Beispiele

$\frac{a + 3}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{a + 3}{a^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a^{2} - 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} = 1$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$a = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$a = \pm 1$

Schritt 2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$a = 1$

Schritt 2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$a = - 1$

Schritt 2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$a = 1, - 1$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1}{a^{2} + a}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a^{2} + a = 0$

Schritt 4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2} + a$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2}$ heraus.

$a \cdot a + a = 0$

Schritt 4.1.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a \cdot a + a = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a^{1}$ heraus.

$a \cdot a + a \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot a + a \cdot 1$ heraus.

$a (a + 1) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a = 0$

$a + 1 = 0$

Schritt 4.3

Setze $a$ gleich $0$ .

$a = 0$

Schritt 4.4

Setze $a + 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $a + 1$ gleich $0$ .

$a + 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 1$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $a (a + 1) = 0$ wahr machen.

$a = 0, - 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $a$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${a | a \neq 0, 1, - 1}$

Schritt 6