Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ nicht definiert ist.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Schritt 2

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 2.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Da die Funktion $e^{3 x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $3$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 2.1.1.2.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $3$ entfernt.

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.1.2.2.2

Da der Exponent $3 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 x}$ $\infty$ an.

$\frac{7 + \infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.1.3.2

Da die Funktion $e^{3 x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $8$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $8$ entfernt.

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Da der Exponent $3 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{4 - \infty}$

Schritt 2.1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.1.3.3.1

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$\frac{\infty}{4 + - \infty}$

Schritt 2.1.1.3.3.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2.1.1.3.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2.1.1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2.1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2.1.2

Da $\frac{\infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 + 3 e^{3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Schritt 2.1.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.4.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.4.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (3 \cdot e^{3 x})}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $0$ und $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 8 e^{3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

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Schritt 2.1.3.8.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Schritt 2.1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.1.3.8.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 2.1.3.8.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 2.1.3.8.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 2.1.3.8.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 2.1.3.8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}$

Schritt 2.1.3.8.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \cdot 3)}$

Schritt 2.1.3.8.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (3 \cdot e^{3 x})}$

Schritt 2.1.3.8.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 24 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.3.9

Subtrahiere $24 e^{3 x}$ von $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{- 24 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $- 24$ .

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Schritt 2.1.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 e^{3 x}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{- 24 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24 e^{3 x}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Schritt 2.1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Schritt 2.1.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Schritt 2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{- 8}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.2.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{3}{- 8}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3}{- 8}$

Schritt 2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{8}$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 3.1.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 + 3 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 3.2

Da der Exponent $3 x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 x}$ $0$ an.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Schritt 3.3.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Schritt 3.3.3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}$

Schritt 3.4

Da der Exponent $3 x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 x}$ $0$ an.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Schritt 3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{7 + 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{7}{4 - 8 \cdot 0}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$\frac{7}{4 + 0}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Horizontale Asymptoten: $y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7