Elementarmathematik Beispiele

$\frac{y - 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{y + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y + 1 \geq 0$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y \geq - 1$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{y - 1}{y \sqrt{y + 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y \sqrt{y + 1} = 0$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(y \sqrt{y + 1})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 1}$ als ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${(y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$y^{2} {({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} {(y + 1)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Vereinfache.

$y^{2} (y + 1) = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} y + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.5

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1.5.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 4.2.2.1.5.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2 + 1} + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y^{3} + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{3} + y^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y^{3} + y^{2} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3} + y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$y^{2} y + y^{2} = 0$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$y^{2} y + y^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} y + y^{2} \cdot 1$ heraus.

$y^{2} (y + 1) = 0$

Schritt 4.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y^{2} = 0$

$y + 1 = 0$

Schritt 4.3.3

Setze $y^{2}$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Setze $y^{2}$ gleich $0$ .

$y^{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2

Löse $y^{2} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.3.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

Schritt 4.3.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 4.3.4

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y^{2} (y + 1) = 0$ wahr machen.

$y = 0, - 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y > - 1, y \neq 0}$

Schritt 6