Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{5}}{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{5}}{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{5}}{3} = x$ um.

$\frac{y^{5}}{3} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{5} = 3 x$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{3 x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 x^{5}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Schritt 5.2.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Schritt 5.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[5]{3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 x})}^{5}}{3}$

Schritt 5.3.3

Schreibe ${\sqrt[5]{3 x}}^{5}$ als $3 x$ um.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3}$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$