Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 2

Da $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ von links und $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ von rechts, dann ist $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ eine vertikale Asymptote.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 3

Da $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ von links und $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ von rechts, dann ist $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ eine vertikale Asymptote.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 7

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 8

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 8.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

Schritt 8.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x^{2}$ .

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

Schritt 8.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{3} + 0 - 4 x$

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$

Schritt 8.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

$15 x^{2}$

$5 x$

Schritt 8.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Schritt 8.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 15 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x^{2}$ .

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Schritt 8.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							-	$15 x^{2}$	+	$0$	+	$6$

Schritt 8.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 15 x^{2} + 0 + 6$

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$

Schritt 8.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$
									+	$5 x$	-	$7$

Schritt 8.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$2 x - 3 + \frac{5 x - 7}{5 x^{2} - 2}$

Schritt 8.12

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 2 x - 3$

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 2 x - 3$

Schritt 10