Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ nicht definiert ist.

$- 1 \leq x \leq 0$

Schritt 2

Da $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von links und $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von rechts, dann ist $x = - 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 1$

Schritt 3

Da $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - 1, 0$

Schritt 5

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Schritt 5.2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 5.5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 5.5.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 5.6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 5.7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 5.8

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 5.9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 5.9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 5.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 5.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Schritt 5.9.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Schritt 5.9.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Schritt 5.9.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Schritt 5.10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Schritt 5.11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.11.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Schritt 5.11.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.11.2.1

Dividiere $1 + 0$ durch $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

Schritt 5.11.2.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

Schritt 5.11.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.11.2.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

Schritt 5.11.2.3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{- 3}{1}$

Schritt 5.11.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- 3$

Schritt 6

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Schritt 6.2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 6.5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 6.5.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 6.6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 6.7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.7.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 6.7.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Schritt 6.8

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 6.9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 6.9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 6.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 6.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Schritt 6.9.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 6.9.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 6.9.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 6.10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 6.11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.11.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Schritt 6.11.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.11.2.1

Dividiere $1 + 0$ durch $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

Schritt 6.11.2.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

Schritt 6.11.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.11.2.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

Schritt 6.11.2.3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 6.11.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.11.2.5

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$3$

Schritt 7

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = - 3, 3$

Schritt 8

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 1, 0$

Horizontale Asymptoten: $y = - 3, 3$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 10